חידה - על ראש האסיר בוער הצבע

 

על ראש האסיר בוער הצבע

לאחר שהאסירים לא הצליחו להתמודד עם משימת הנורה, מציע להם מנהל בית הכלא  את העיסקה הבאה: כל האסירים יעמדו בטור, זה אחרי זה ועל  ראשו של כל אחד ישימו כובע שצבעו אדום או כחול. האסירים לא יודעים מה צבע הכובע שעל ראשם אבל יכולים לראות את צבעי הכובעים של האסירים העומדים לפניהם בטור. בשלב זה מתבקש כל אסיר, החל מהאסיר שעומד בסוף הטור, לפי הסדר, לנחש את צבע הכובע שעל ראשו. מי שינחש נכון את צבע הכובע שעל ראשו ישוחרר מבית הסוהר. לאסירים ניתנת שהות של שעה להתייעצות כדי למצוא אולי שיטה-אסטרטגיה בה יצליחו כמה שיותר אסירים לנחש נכון את צבע הכובע.

מהי השיטה בה עליהם לנקוט כדי ש 99 מתוכם ינחשו בודאות את צבע הכובע ורק לאסיר אחד יהיה סיכוי של חצי-חצי?

 
פתרון
על האסירים להחליט על קוד שאומר האם מספר הכובעים לפני האסיר שמכריז בתורו, הוא זוגי או אי זוגי כלפי צבע מסוים שנבחר לספירה. הרעיון המרכזי בבחירת זוגי ואי זוגי הוא ששינוי במספר הכובעים בעלי צבע מסוים במעבר מאסיר לאסיר יכול להיות רק בהפרש של אחד וזה אומר: מעבר ממספר זוגי לאי זוגי או מעבר ממספר זוגי לאי זוגי.נניח שהאסירים מחליטים שהם יספרו את הכובעים האדומים של חבריהם הנמצאים לפניהם. אם מספר הכובעים זוגי אז האסיר שסופר יאמר כחול כחול ואם מספרם אי זוגי יאמר אדום. האסירים נעמדים זה מאחורי זה והאסיר האחרון סופר את הכובעים האדומים. נניח שמספרם זוגי ואז הוא אומר "הכובע שלי כחול" . האסיר שלפניו מבין שמספר הכובעים האדומים שספר האסיר שמאחוריו הוא זוגי והוא סופר את הכובעים שלפניו. אם גם מספר הכובעים שספר הוא זוגי הוא מבין שמספר הכובעים האדומים לא השתנה ולכן כובעו כחול והוא אומר "כובעי כחול" וצודק. אבל אם מספר הכובעים שספר לפניו הוא איזוגי הוא מבין שמספר הכובעים האדומים השתנה באחד מהספירה של חברו מאחור ולכן על ראשו כובע אדום והוא אומר :"כובעי אדום". כך כל אסיר שומע את הצבע שמכריז האסיר שמאחוריו ומבין אם מספר הכובעים האדומים שראה חברו הוא זוגי או אי זוגי. אחר כך הוא סופר בעצמן ובודק אם המספר נשאר באותה תכונה או השתנה מזוגי לאי זוגי או מאי זוגי לזוגי וכך יכול לדעת את הצבע של כובעו.

היחיד שתשובתו אינה ודאית זה האסיר האחרון בשורה שמנחש ראשון. סיכוייו חצי חצי אבל מנהל הכלא לא ישאיר אסיר אחד...